1

Ⅳ-2. 확률

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나온 눈의 수를 차례대로 [eqn: x], [eqn: y]라 할 때, [eqn: y over x]가 자연수가 될 확률은?

① [eqn: 2 over 9]	② [eqn: 5 over 18]	③ [eqn: 1 over 3]

④ [eqn: 7 over 18]	⑤ [eqn: 4 over 9]

2

빨간 공과 검은 공이 들어 있는 주머니에서 한 개의 공을 꺼낼 때, 빨간 공이 나올 확률은 [eqn: 1 over 3]이다. 처음 주머니에 [eqn: 10]개의 빨간 공을 더 넣은 후 한 개의 공을 꺼낼 때, 빨간 공이 나올 확률은 [eqn: 7 over 11]이다. 처음 주머니 속에 들어 있는 검은 공의 개수를 구하시오.

3

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rmA]에서 출발하여 길을 따라 내려가면 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR] 중 어느 한 곳에 도착한다고 할 때, [eqn: rmR]에 도착할 확률을 구하시오. (단, 각 갈림길에서 어느 한 방향을 선택할 확률은 모두 같다.)

4

주사위 한 개를 던져서 소수의 눈이 나오면 세 계단 위로 올라가고, 소수가 아닌 눈이 나오면 한 계단 아래로 내려간다고 할 때, 주사위 한 개를 [eqn: 3]번 던져서 처음 위치보다 한 계단 위에 있을 확률을 구하시오. (단, 계단의 수는 충분히 많다.)

5

흰 바둑돌 [eqn: 5]개와 검은 바둑돌 [eqn: 4]개가 들어 있는 주머니에서 한 개의 바둑돌을 꺼내고, 꺼낸 바둑돌과 색이 다른 바둑돌을 하나 넣은 후 다시 한 개의 바둑돌을 꺼낸다고 하자. 두 번째 바둑돌을 꺼낼 때, 검은 바둑돌이 나올 확률을 구하시오.
(단, 꺼낸 바둑돌은 다시 넣지 않는다.)

6

[eqn: rmA], [eqn: rmB] 두 학생이 [eqn: 1]회에는 [eqn: rmA], [eqn: 2]회에는 [eqn: rmB], [eqn: 3]회에는 [eqn: rmA], [eqn: 4]회에는 [eqn: rmB], [eqn: cdots]의 순서로 주사위 [eqn: 1]개를 한 번씩 던지는 놀이를 하고 있다. [eqn: 5]의 약수의 눈이 먼저 나오는 사람이 이긴다고 할 때, [eqn: rmB]가 [eqn: 4]회 이내에 이길 확률은?

① [eqn: 20 over 81]	② [eqn: 26 over 81]	③ [eqn: 32 over 81]

④ [eqn: 38 over 81]	⑤ [eqn: 44 over 81]

<정답 및 풀이>

Ⅳ- 2. 확률

1 ④	2 [eqn: 8]	3 [eqn: 1 over 4]	4 [eqn: 3 over 8]	5 [eqn: 37 over 81]	6 ②

1    ④

모든 경우의 수는   [eqn: 6 times 6 = 36]

[eqn: y over x]가 자연수인 경우는

[eqn: x=1]일 때, [eqn: y=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]의 [eqn: 6]가지

[eqn: x=2]일 때, [eqn: y=2], [eqn: 4], [eqn: 6]의 [eqn: 3]가지

[eqn: x=3]일 때, [eqn: y=3], [eqn: 6]의 [eqn: 2]가지

[eqn: x=4]일 때, [eqn: y =4]의 [eqn: 1]가지

[eqn: x=5]일 때, [eqn: y =5]의 [eqn: 1]가지

[eqn: x=6]일 때, [eqn: y=6]의 [eqn: 1]가지

이므로 그 경우의 수는

[eqn: 6+3+2+1+1+1=14]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 14 over 36 = 7 over 18]

2    [eqn: 8]

처음 주머니에 들어 있는 빨간 공의 개수를 [eqn: x], 검은 공의 개수를 [eqn: y]라 하면 처음 주머니에서 빨간 공이 나올 확률이 [eqn: 1over3]이므로

[eqn: x over {x+y} = 1 over 3],   [eqn: 3x = x+y]   [eqn: therefore`` 2x-y=0]	[eqn: CDOTSCDOTS``]㉠

[eqn: 10]개의 빨간 공을 더 넣으면 주머니에 들어 있는 빨간 공의 개수는 [eqn: x+10]이고 빨간 공이 나올 확률이 [eqn: 7 over 11]이므로

[eqn: {x+10} over {x+y+10} = 7 over 11],   [eqn: 11x + 110 = 7x + 7y+70]

[eqn: therefore`` 4x-7y+40=0]	[eqn: CDOTSCDOTS``]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면   [eqn: x=4], [eqn: y=8]

따라서 처음 주머니 속에 들어 있는 검은 공의 개수는 [eqn: 8]이다.

3    [eqn: 1 over 4]

[eqn: rmR]에 도착하려면 오른쪽 그림의 세 점을 지나야 한다.

(ⅰ) [eqn: rmA]에서 왼쪽 길을 선택하여 [eqn: rmR]에 도착할  확률은   [eqn: 1 over 2 times 1 over 2 times 1 over 2 = 1 over 8]

(ⅱ) [eqn: rmA]에서 오른쪽 길을 선택하여 [eqn: rmR]에 도착할 확률은   [eqn: 1 over 2 times 1 over 2 times 1 over 2 = 1 over 8]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은   [eqn: 1 over 8 + 1 over 8 = 1 over 4]

4    [eqn: 3 over 8]

주사위 한 개를 [eqn: 3]번 던져서 처음 위치보다 한 계단 위에 있으려면 소수의 눈이 [eqn: 1]번, 소수가 아닌 수의 눈이 [eqn: 2]번 나와야 한다. 주사위 한 개를 던져서 소수의 눈이 나올 확률은 [eqn: 3over6 = 1over2]이므로 첫 번째에 소수의 눈이 나오고, 두 번째와 세 번째에 소수가 아닌 눈이 나올 확률은

[eqn: 1over2 times left( 1- 1over2 right) times left( 1- 1over2 right) = 1over8]

마찬가지로 두 번째, 세 번째에만 소수의 눈이 나올 확률이 각각 [eqn: 1over8]이므로 구하는 확률은

[eqn: 1over8 + 1over8 + 1over8 = 3over8]

5    [eqn: 37 over 81]

(ⅰ) 처음에 흰 바둑돌을 꺼내는 경우

처음에 흰 바둑돌이 나올 확률은   [eqn: 5 over 9]

이때 검은 바둑돌을 하나 넣으므로 주머니에는 흰 바둑돌 [eqn: 4]개, 검은 바둑돌 [eqn: 5]개가 들어 있다.

즉 두 번째에 검은 바둑돌이 나올 확률은   [eqn: 5 over 9]

[eqn: therefore~ 5 over 9 times 5 over 9 = 25 over 81]

(ⅱ) 처음에 검은 바둑돌을 꺼내는 경우

처음에 검은 바둑돌이 나올 확률은   [eqn: 4 over 9]

이때 흰 바둑돌을 하나 넣으므로 주머니에는 흰 바둑돌 [eqn: 6]개, 검은 바둑돌 [eqn: 3]개가 들어 있다.

즉 두 번째에 검은 바둑돌이 나올 확률은   [eqn: 3 over 9 = 1 over 3]

[eqn: therefore``4 over 9 times 1 over 3 = 4 over 27]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은   [eqn: 25 over 81 + 4 over 27 = 37 over 81]

6    ②

주사위 한 개를 던져서 [eqn: 5]의 약수의 눈이 나올 확률은

[eqn: 2 over 6 = 1 over 3]

(ⅰ) [eqn: 2]회에 [eqn: rmB]가 이기려면 [eqn: 1]회에는 [eqn: 5]의 약수의 눈이 나오지 않고 [eqn: 2]회에 [eqn: 5]의 약수의 눈이 나와야 하므로 그 확률은

[eqn: left( 1 - 1 over 3 right) times 1 over 3 = 2 over 9]

(ⅱ) [eqn: 4]회에 [eqn: rmB]가 이기려면 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]회에는 [eqn: 5]의 약수의 눈이 나오지 않고 [eqn: 4]회에 [eqn: 5]의 약수의 눈이 나와야 하므로 그 확률은

[eqn: left( 1- 1 over 3 right) times left( 1 - 1 over 3 right) times left(1 - 1 over 3 right) times 1 over 3 = 8 over 81]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은   [eqn: 2 over 9 + 8 over 81 = 26 over 81]